Convex პოლიგონების. განმარტება ამოზნექილი პოლიგონზე. დიაგონალების ნამრავლი ამოზნექილი პოლიგონზე

ამ გეომეტრიული ფორმების ყველა ჩვენს გარშემო. Convex პოლიგონები ბუნებრივი, როგორიცაა honeycomb ან ხელოვნური (ადამიანის). ეს მაჩვენებლები გამოიყენება წარმოების სხვადასხვა სახის საიზოლაციო in ხელოვნება, არქიტექტურა, ორნამენტებით, და ა.შ. Convex პოლიგონები აქვს ქონება, რომელიც მათი რაოდენობა ტყუილი ერთ მხარეს ერთი სწორი ხაზი, რომელიც გადის წყვილი მიმდებარე vertices გეომეტრიული ფიგურა. არსებობს სხვა განმარტებები. მან მოუწოდა ამოზნექილი პოლიგონზე, რომელიც მოწყობილი ერთი ნახევარი თვითმფრინავი ნებისმიერი სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს მისი ერთ-ერთი მხარე.

ამოზნექილი მრავალკუთხედების

რა თქმა უნდა, ელემენტარული გეომეტრია ყოველთვის მკურნალობა ძალიან მარტივია პოლიგონების. უნდა გვესმოდეს, რომ თვისებები გეომეტრიული ფორმების თქვენ უნდა გვესმოდეს, მათი ბუნება. დასაწყისისთვის უნდა გვესმოდეს, რომ დახურულ ნებისმიერი ხაზი, რომლის მთავრდება ერთი და იგივეა. და ფიგურა ჩამოყალიბდა იგი, შეიძლება ჰქონდეს სხვადასხვა კონფიგურაციით. პოლიგონის ეწოდება მარტივი დახურულ polyline რომლის მიმდებარე ერთეული არ მდებარეობს ერთი სწორი ხაზი. მისი კავშირები და კვანძების არიან, შესაბამისად, მხარეებს და საუკეთესოებში გეომეტრიული ფიგურა. მარტივი polyline არ იკვეთება თავად.

ოსტატი პოლიგონის ეწოდება მეზობლები, იმ შემთხვევაში, თუ ისინი მთავრდება ერთი მხარე. გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს n-ე ნომერი წვეროების, და აქედან გამომდინარე, n-th პარტიების მოუწოდა n-gon. თავად გაწყვეტილი ხაზი არის საზღვარი ან კონტურის გეომეტრიული ფიგურა. პოლიგონური თვითმფრინავი ან ბინა პოლიგონის მოუწოდა საბოლოო ნაწილი ნებისმიერი თვითმფრინავი, მათი შეზღუდული. მომიჯნავე მხარეებს გეომეტრიული ფიგურა უწოდა polyline სეგმენტების მომდინარეობს და იგივე საწყისი. ისინი არ იქნება მეზობლები, თუ ისინი ეფუძნება სხვადასხვა vertices პოლიგონის.

სხვა განმარტებები ამოზნექილი მრავალკუთხედების

ელემენტარული გეომეტრია, არსებობს რამდენიმე ექვივალენტი მნიშვნელობა განმარტებები, რაც მიუთითებს, რა ჰქვია convex პოლიგონზე. გარდა ამისა, ყველა ეს გამონათქვამები თანაბრად მართალია. ამოზნექილი პოლიგონის არის ერთი, რომ აქვს:

• თითოეული სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ნებისმიერ ორ რაოდენობა ფარგლებში, მთლიანად მას;

• მასში ტყუილი ყველა მისი დიაგონალები;

• ნებისმიერი შიდა კუთხე არ აღემატება 180 °.

პოლიგონის ყოველთვის ყოფს თვითმფრინავი ორ ნაწილად. ერთ-ერთი მათგანი - შეზღუდული (ეს შეიძლება იყოს ჩასმული წრეში), და სხვა - შეუზღუდავი. პირველი ჰქვია შიდა რეგიონში, და მეორე - გარე ტერიტორიაზე გეომეტრიული ფიგურა. ეს არის გადაკვეთაზე პოლიგონის (სხვა სიტყვებით - საერთო კომპონენტი) რამდენიმე ნახევრად თვითმფრინავები. ამდენად, თითოეული სეგმენტი, რომელსაც მთავრდება რაოდენობა, რომელიც ეკუთვნის პოლიგონის მთლიანად მას ეკუთვნის.

ჯიშების ამოზნექილი მრავალკუთხედების

განმარტება convex პოლიგონზე არ ნიშნავს, რომ არსებობს მრავალი სახის მათგანი. და თითოეულ მათგანს აქვს გარკვეული კრიტერიუმების მიხედვით. ამდენად, ამოზნექილი მრავალკუთხედების, რომელსაც აქვს შიდა კუთხე 180 °, მოხსენიებული ოდნავ ამოზნექილი. ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს სამი მწვერვალები, ეწოდება სამკუთხედი, ოთხი - ოთხმხრივი, ხუთი - პენტაგონის და ა.შ. თითოეული ამოზნექილი n-gons აკმაყოფილებს შემდეგ მნიშვნელოვანი მოთხოვნები: .. N უნდა იყოს ტოლი ან მეტი 3. თითოეული სამკუთხედები არის ამოზნექილი. გეომეტრიული ფიგურა ამ ტიპის, რომელშიც ყველა vertices განლაგებულია წრე, მოუწოდა იუნესკოს წრე. აღწერილი convex პოლიგონის ეწოდება, თუ ყველა მხარე წრის გარშემო შეეხოთ მას. ორი პოლიგონები უწოდებენ თანაბარი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც გამოყენებით overlay შეიძლება კომბინირებული. ბინა პოლიგონის მოუწოდა მრავალკუთხა თვითმფრინავი (თვითმფრინავი ნაწილი), რომელიც ამ შეზღუდული გეომეტრიული ფიგურა.

რეგულარული ამოზნექილი მრავალკუთხედების

რეგულარული პოლიგონის მოუწოდა გეომეტრიული ფორმების თანაბარი კუთხეების და მხარეებს. Inside მათგანი არის წერტილი 0, რომელიც არის იგივე დაშორება მისი ოსტატი. მას უწოდებენ ცენტრში გეომეტრიული ფიგურა. ხაზები დამაკავშირებელი ცენტრი წვეროების გეომეტრიული ფიგურა უწოდა apothem და ის, რომ დაკავშირება წერტილი 0 მხარეებს - რადიუსი.

სწორი ოთხკუთხედი - მოედანზე. ტოლგვერდა სამკუთხედის ეწოდება ტოლგვერდა. ასეთი ფორმები არსებობს შემდეგი წესით: ყოველ convex პოლიგონის კუთხე 180 ° * (n-2) / n,

სადაც n - ნომერი vertices ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურა.

ფართობი ნებისმიერი რეგულარული პოლიგონის განისაზღვრება ფორმულით:

S = P * h,

სადაც P ტოლია ნახევარი თანხა ყველა მხარეს პოლიგონის, და თ სიგრძე apothem.

Properties ამოზნექილი მრავალკუთხედების

Convex პოლიგონები გარკვეული თვისებები. ამდენად, სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ნებისმიერი ორი ქულა გეომეტრიული ფიგურა, აუცილებლად მდებარეობს იგი. მტკიცებულება:

ვარაუდობენ, რომ P - ამოზნექილი პოლიგონზე. მიიღეთ ორი თვითნებური რაოდენობა, მაგალითად, A და B, რომელიც ეკუთვნის P. მიმდინარე განმარტება ამოზნექილი პოლიგონზე, ეს რაოდენობა განლაგებულია ერთ მხარეს სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს ნებისმიერი მიმართულებით R. შესაბამისად, AB ასევე აქვს ქონება და შეიცავს R. ამოზნექილი პოლიგონის ყოველთვის შეიძლება დაიყოს რამდენიმე სამკუთხედები აბსოლუტურად ყველა დიაგონალები, რომელიც გაიმართა მისი ერთ-ერთი ოსტატი.

კუთხეების convex გეომეტრიული ფორმების

კუთხეების ამოზნექილი პოლიგონის - არიან კუთხით, რომ წარმოიქმნება მხარეთა მიერ. Inside კუთხეში შიგნით ფართობი გეომეტრიული ფიგურა. კუთხე, რომელიც ყალიბდება მისი მხარეს, რომელიც გადავიდეს vertex, მოუწოდა კუთხე convex პოლიგონზე. Corners მიმდებარე შიდა კუთხეში გეომეტრიული ფიგურა, ე.წ. გარე. ყოველ კუთხეში ამოზნექილი პოლიგონზე, მოწყობილი შიგნით, არის:

180 ° - x

სადაც x - ღირებულება გარეთ კუთხეში. ეს მარტივი ფორმულა გამოიყენება ნებისმიერი ტიპის გეომეტრიული ფორმების, როგორიცაა.

ზოგადად, გარე კუთხეებში არსებობს შემდეგი წესით: ყოველ convex პოლიგონის კუთხე ტოლია განსხვავება 180 ° და ღირებულება შიდა კუთხე. მას შეუძლია ღირებულებების დაწყებული -180 ° to 180 °. აქედან გამომდინარე, როდესაც შიდა კუთხე 120 °, გამოჩენა ექნება ღირებულება 60 °.

თანხა კუთხეებს ამოზნექილი მრავალკუთხედების

თანხა შიდა კუთხეების ამოზნექილი პოლიგონის დადგენილი ფორმულით:

180 ° * (n-2),

სადაც n - ნომერი vertices N-gon.

თანხა კუთხეებს ამოზნექილი პოლიგონის გამოითვლება უბრალოდ. განვიხილოთ ნებისმიერი ასეთი გეომეტრიული ფორმის. რათა დადგინდეს თანხა კუთხეების ამოზნექილი პოლიგონზე უნდა დააკავშირებს მისი ერთ-ერთი vertices სხვა წვერები. შედეგად ეს ქმედება გამოდის (n-2) სამკუთხედის. ცნობილია, რომ თანხა კუთხეებს ნებისმიერი სამკუთხედის ყოველთვის 180 °. იმის გამო, რომ მათი რიცხვი ნებისმიერ პოლიგონის უდრის (n-2), თანხა შიდა კუთხეების ფიგურა უდრის 180 ° x (n-2).

თანხა convex პოლიგონის კუთხეში, კერძოდ, ნებისმიერი ორი მიმდებარე შიდა და გარე კუთხეების მათ, ამ ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურა ყოველთვის იქნება ტოლი 180 °. ამ დოკუმენტის საფუძველზე, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ თანხა მისი ყველა კუთხეში:

180 x n.

თანხა შიდა კუთხეების არის 180 ° * (n-2). შესაბამისად, თანხა ყველა გარე კუთხეში ფიგურა დადგენილი ფორმულით:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

თანხა გარე კუთხეების ნებისმიერი ამოზნექილი პოლიგონის ყოველთვის იქნება ტოლი 360 ° (რაოდენობის მიუხედავად მისი მხრიდან).

გარე კუთხეში ამოზნექილი პოლიგონის ზოგადად წარმოდგენილია განსხვავება 180 ° და ღირებულება შიდა კუთხე.

სხვა თვისებები ამოზნექილი პოლიგონზე

გარდა ძირითადი თვისებები გეომეტრიული ფიგურები მონაცემებით, ასევე სხვა, რაც ხდება, როდესაც გატარება მათ. ამდენად, ნებისმიერი პოლიგონების შეიძლება გაიყო მრავალი convex n-gons. ამისათვის, გააგრძელოს მისი თითოეული მხარეს და მოჭრილი გეომეტრიული ფორმის გასწვრივ ამ სწორი ხაზები. გაყოფილი ნებისმიერი პოლიგონზე რამდენიმე convex ნაწილები შესაძლებელია და ისე, რომ ზედა თითოეული ცალი ემთხვევა ყველა მისი ოსტატი. საწყისი გეომეტრიული ფიგურა შეიძლება იყოს ძალიან მარტივი, რათა სამკუთხედები მეშვეობით ყველა დიაგონალები ერთი vertex. ამდენად, ნებისმიერი პოლიგონის, საბოლოო ჯამში, შეიძლება დაიყოს გარკვეული რაოდენობის სამკუთხედები, რომელიც არის ძალიან სასარგებლო გადაჭრაში სხვადასხვა ამოცანები დაკავშირებული ასეთი გეომეტრიული ფორმის.

პერიმეტრზე convex პოლიგონზე

სეგმენტების polyline, პოლიგონის წოდებულ პარტიებს, ხშირად მითითებული შემდეგი წერილები: ბ, გ, დ, de, ea. ეს მხარე გეომეტრიული ფიგურა vertices a, b, c, d, e. თანხა lengths მხარეს ამოზნექილი პოლიგონის ეწოდება მის პერიმეტრზე.

წრეწირზე პოლიგონზე

Convex პოლიგონები შეიძლება შევიდნენ და აღწერილი. Circle ეხება ყველა მხარეს გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც ეწოდება იუნესკოს შევიდა. ეს პოლიგონის ეწოდება აღწერილი. ცენტრში წრე, რომელიც იუნესკოს პოლიგონის არის წერტილი კვეთა ბისექტრისები კუთხით მოცემულ გეომეტრიული ფორმის. ფართობი პოლიგონზე უდრის:

S = P * r,

სადაც r - რადიუსი იუნესკოს წრე, და p - semiperimeter ამ პოლიგონზე.

წრე, რომელიც შეიცავს პოლიგონის წვეროების, სახელწოდებით აღწერილი ახლოს. გარდა ამისა, ეს ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურა მოუწოდა ჩაწერილი. წრე ცენტრი, რომელიც აღწერილია ასეთი პოლიგონის არის ე.წ. კვეთა წერტილი midperpendiculars ყველა მხარეს.

Diagonal convex გეომეტრიული ფორმების

დიაგონალების ნამრავლი ამოზნექილი პოლიგონის - სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს არა მეზობელი წვერები. თითოეული მათგანი არის შიგნით ამ გეომეტრიული ფიგურა. რაოდენობა დიაგონალები N-gon დგინდება ფორმულით:

N = n (n - 3) / 2.

რაოდენობა დიაგონალები ამოზნექილი პოლიგონის მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ელემენტარული გეომეტრია. რაოდენობის სამკუთხედები (K), რომელიც შეიძლება დაარღვიოს ყველა convex პოლიგონის, გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

K = n - 2.

რაოდენობა დიაგონალები ამოზნექილი პოლიგონის ყოველთვის დამოკიდებული რაოდენობის წვერები.

Partition ამოზნექილი პოლიგონზე

ზოგიერთ შემთხვევაში, გადაჭრას გეომეტრიის ამოცანების აუცილებელია შესვენება ამოზნექილი პოლიგონზე რამდენიმე სამკუთხედები არასამთავრობო კვეთს diagonals. ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს მოხსნის გარკვეული ფორმულა.

განსაზღვრის პრობლემა: ზარის უფლება სახის დანაყოფი ამოზნექილი n-gon რამდენიმე სამკუთხედებს დიაგონალები, რომ იკვეთება მხოლოდ წვეროების გეომეტრიული ფიგურა.

Solution: დავუშვათ, რომ P1, P2, P3, ..., PN - ზედა n-gon. პუნქტების Xn - რიცხვი მისი დანაყოფები. ყურადღებით განიხილოს შედეგად დიაგონალური გეომეტრიული ფიგურა Pi PN. ნებისმიერ რეგულარული დანაყოფები P1 Pn ეკუთვნის კონკრეტული სამკუთხედის P1 Pi Pn, რომელშიც 1

მოდით i = 2 ჯგუფი რეგულარული ტიხრები, ყოველთვის შეიცავს დიაგონალური P2 PN. რაოდენობა დანაყოფები, რომლებიც ჩართული, ტოლი რაოდენობის დანაყოფები (n-1) -gon P2 P3 P4 ... PN. სხვა სიტყვებით, ეს უდრის Xn-1.

თუ i = 3, მაშინ მეორე ჯგუფის დანაყოფი ყოველთვის შეიცავდეს დიაგონალი P3 P1 და P3 PN. რაოდენობის სწორი დანაყოფები, რომლებიც შეიცავს ჯგუფი, დაემთხვევა ნომერი დანაყოფები (n-2) -gon P3, P4 ... PN. სხვა სიტყვებით, ეს იქნება Xn-2.

დაე, i = 4, შემდეგ სამკუთხედები შორის სწორი დანაყოფი არის ვალდებული შეიცავდეს სამკუთხედის P1 Pn P4, რომელიც ახლად შემოერთებულ quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... PN. რაოდენობის სწორი დანაყოფი ასეთი ოთხმხრივი უდრის X4, და რაოდენობის დანაყოფი (n-3) -gon უდრის Xn-3. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ საერთო რაოდენობის რეგულარული დანაყოფი, რომელიც შეიცავს ამ ჯგუფში შეადგენს Xn-3 X4. სხვა ჯგუფები, რომელშიც i = 4, 5, 6, 7 ... შეიცავს 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 რეგულარული დანაყოფი.

მოდით i = n-2, რაოდენობის სწორი ტიხრების მოცემული ჯგუფის დაემთხვევა ნომერი დანაყოფები ჯგუფში, რომელშიც i = 2 (სხვა სიტყვებით, უდრის Xn-1).

მას შემდეგ, რაც X1 = X2 = 0, X3 = 1 და X4 = 2, ..., რაოდენობის ტიხრები convex პოლიგონის არის:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

მაგალითად:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

რაოდენობის სწორი დანაყოფი იკვეთება ერთ-ერთ დიაგონალური

როდესაც შემოწმების ინდივიდუალურ შემთხვევებში, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ნომერი, დიაგონალები of convex n-gon ტოლია პროდუქტი ყველა დანაყოფი ეს სქემა ნიმუში (n-3).

მტკიცებულება ამ მოსაზრებას: დავუშვათ, რომ P1N = Xn * (n-3), მაშინ ნებისმიერი n-gon შეიძლება დაიყოს (n-2) სამკუთხედის. ამ შემთხვევაში ერთი მათგანი შეიძლება stacked (n-3) -chetyrehugolnik. ამავე დროს, თითოეული quadrangle არის დიაგონალური. მას შემდეგ, რაც ამ ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურა ორი დიაგონალები შეიძლება განხორციელდეს, რაც იმას ნიშნავს, რომ ნებისმიერ (n-3) -chetyrehugolnikah შეიძლება ჩატარდეს დამატებითი დიაგონალი (n-3). ამ დოკუმენტის საფუძველზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნებისმიერ სათანადო დანაყოფი აქვს შესაძლებლობა (n-3) -diagonali შეხვედრის მოთხოვნებს ამ ამოცანას.

ფართი ამოზნექილი მრავალკუთხედების

ხშირად, სხვადასხვა პრობლემების გადაჭრაში ელემენტარული გეომეტრია არ არის საჭირო, რათა დადგინდეს ფართობი ამოზნექილი პოლიგონზე. ვივარაუდოთ, რომ (XI. Yi), i = 1,2,3 ... n წარმოადგენს თანმიმდევრობა კოორდინატები ყველა მეზობელ vertices პოლიგონის, რომელსაც არ თვითმმართველობის გზაჯვარედინებზე. ამ შემთხვევაში, მისი ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

სადაც (X ₁ Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1).