Გეომეტრიული პროგრესიით და მისი თვისებები

გეომეტრიული პროგრესიით მნიშვნელოვანია მათემატიკაში, როგორც მეცნიერების და გამოყენებითი მნიშვნელობა აქვს, მას შემდეგ, რაც მას აქვს ძალიან ფართო არეალი, თუნდაც უმაღლესი მათემატიკა, მაგალითად, თეორია სერია. პირველი ინფორმაცია პროგრესი მოვიდა ჩვენთან ძველ ეგვიპტეში, კერძოდ სახით ცნობილი პრობლემას Rhind პაპირუსი შვიდი შვიდი cats. ვარიაციები ამ ამოცანის მეორდება ბევრჯერ სხვადასხვა დროს სხვა ერების. კი ეპარქია Leonardo Pizansky, რომელიც ცნობილია როგორც Fibonacci (XIII ს.), ესაუბრა თავის "წიგნი Abacus".

ასე რომ, გეომეტრიული პროგრესიით უძველესი ისტორია აქვს. იგი წარმოადგენს ციფრული თანმიმდევრობით ერთად არანულოვანი პირველი წევრი, და ყოველი მომდევნო, დაწყებული მეორე განისაზღვრება გამრავლებით წინა განმეორების ფორმულა მუდმივი, nonzero ნომერი, რომელიც ეწოდება მნიშვნელი პროგრესიით (იგი ჩვეულებრივ დანიშნულ გამოყენებით წერილი q).
ცხადია, რომ ეს შეიძლება ნაპოვნი მიერ გამყოფი ყოველი მომდევნო ვადით თანმიმდევრობა წინა, ანუ z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... აქედან გამომდინარე, ყველაზე სამუშაო პროგრესიით (Zn) საკმარისი, რომ იცის, ღირებულება პირველი ვადის მნიშვნელი და y 1 q.

მაგალითად, მოდით z 1 = 7, q = - 4 (q <0), მაშინ შემდეგ გეომეტრიული პროგრესიით მიღებული 7 - 28, 112 - 448, .... როგორც ხედავთ, რის შედეგადაც თანმიმდევრობა არ არის მონოტონური.

შეგახსენებთ, რომ თვითნებური თანმიმდევრობა ერთფეროვანი (იზრდება / მცირდება), როდესაც ერთ-ერთი წევრი დაიცვას მეტი / ნაკლები, ვიდრე წინა. მაგალითად, თანმიმდევრობა 2, 5, 9, ... და -10, -100, -1000, ... - Monotone, მეორე - მცირდება გეომეტრიული პროგრესიით.

იმ შემთხვევაში, თუ q = 1, ყველა წევრი აღმოჩნდა, და მას უწოდებენ მუდმივი პროგრესია.

რიგითობის იყო პროგრესირებას ამ ტიპის, უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ აუცილებელი და საკმარისი პირობა, კერძოდ: დაწყებული მეორე, მისი თითოეული წევრი უნდა იყოს გეომეტრიული მეზობელი წევრები.

ეს უძრავი ქონება საშუალებას გარკვეულ ორი მიმდებარე დასკვნა თვითნებური ვადა პროგრესია.

n-th ვადა exponentially ადვილად ი ფორმულით: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z იცის პირველი წევრი 1 და მნიშვნელი ქ.

მას შემდეგ, რაც რიგითობის აქვს თანხა, შემდეგ რამდენიმე მარტივი გათვლებით მოგვცეს ფორმულა თანხა პირველი პროგრესირებას წევრები, კერძოდ:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

შეცვლის, ფორმულა გამოხატვის მნიშვნელობა Zn z 1 * q ^ (n-1) მიიღოს მეორე თანხა ფორმულა პროგრესიით: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

ყურადღების ღირსია შემდეგ საინტერესო ფაქტი: თიხის ტაბლეტი გათხრების შედეგად აღმოჩენილია ბაბილონის, რომელიც ეხება VI. BC, შეიცავს შესანიშნავი გზა თანხა 1 + 2 + ... + 22 + 29 = 2 მეათე ძალა მინუს 1. ახსნა ამ მოვლენას არ არის ნაპოვნი.

აღვნიშნავთ, ერთი თვისებები გეომეტრიული პროგრესიით - მუდმივი მუშაობა მისი წევრების პოლონელები თანაბარ მანძილზე კიდით თანმიმდევრობით.

განსაკუთრებული მნიშვნელობა სამეცნიერო თვალსაზრისით, ასეთი რამ, როგორც უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიით და გაანგარიშების მისი ოდენობა. თუ დავუშვებთ, რომ (yn) - გეომეტრიული პროგრესიით, რომელსაც მნიშვნელი q, დაკმაყოფილების პირობით | q | <1, მისი ოდენობა იქნება მოხსენიებული ლიმიტი, რომლის მიმართაც ჩვენ უკვე ვიცით, თანხა მისი პირველი წევრი, უსაზღვრო ზრდა n, მაშინ მას ახლოვდება უსასრულობა.

მოძებნა ეს თანხა შედეგად გამოყენებით ფორმულით:

S n = y 1 / (1 q).

და, როგორც გამოცდილებამ აჩვენა, რომ აშკარა სიმარტივის ამ პროგრესული იმალება დიდი განაცხადის პოტენციალი. მაგალითად, თუ ჩვენ ავაშენებთ თანმიმდევრობა მოედნები, შემდეგი ალგორითმი, დამაკავშირებელი midpoints წინა, მაშინ ისინი ქმნიან მოედანზე უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიით, რომელსაც მნიშვნელი 1/2. იგივე პროგრესიით ფორმა და ფართობი სამკუთხედები, მიღებულ ყოველ ეტაპზე სამშენებლო და მისი თანხა ტოლია ორიგინალური მოედანზე.