Რეგულარული polyhedra: ელემენტები სიმეტრია და ფართობი

გეომეტრია არის ლამაზი, რადგან, განსხვავებით ალგებრა, რომელიც ყოველთვის არ არის ნათელი, თუ რატომ და რას ფიქრობთ, იძლევა ვიზუალური ობიექტი. ამ საოცარ სამყაროში სხვადასხვა ორგანოების adorn რეგულარული polyhedra.

ზოგადი ინფორმაცია რეგულარული polyhedra

მისი თქმით, ბევრი, რეგულარული polyhedrons, ან როგორც მათ უწოდებენ Platonic მყარი, უნიკალური თვისებები. ამ ობიექტების დაკავშირებული რამდენიმე სამეცნიერო ჰიპოთეზა. როდესაც თქვენ დაიწყოს შესწავლა გეომეტრიული მონაცემების ნაწილები, ხვდები, რომ თითქმის არ იციან, ასეთი კონცეფცია, როგორც რეგულარული polyhedra. პრეზენტაცია ამ ობიექტების სკოლა არ არის ყოველთვის საინტერესო, ასე რომ ბევრი არ მახსოვს, რა ისინი დაიბარეს. ხსოვნის ყველაზე ადამიანი, ეს არის მხოლოდ კუბი. არცერთი ორგანოს გეომეტრია არ გააჩნია ისეთი სრულყოფილების, როგორც რეგულარული polyhedrons. ყველა სახელები ამ გეომეტრიული ორგანოები წარმოშობილი ძველ საბერძნეთში. ისინი წარმოადგენს რაოდენობა სახეები: tetrahedron - ოთხმხრივი, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. ყველა ამ გეომეტრიული სხეულის მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია პლატონის კონცეფცია სამყაროს. ოთხი მათგანი, რომლებიც ელემენტები ან პირის შემთხვევაში: tetrahedron - ცეცხლი, icosahedron - წყლის კუბი - დედამიწაზე, octahedron - საჰაერო. Dodecahedron რომლებიც ყველაფერში. იგი ითვლება მთავარ სიმბოლოდ სამყაროს.

განზოგადების კონცეფცია polyhedron

Polyhedron სასრული კოლექცია პოლიგონები, რომ:

• თითოეულ მხარეს ნებისმიერ პოლიგონები არის, ამავე დროს, მხოლოდ ერთ მხარეს მეორე პოლიგონის იმავე მხარეს;
• თითოეული პოლიგონები შეგიძლიათ ფეხით მეორე გავლით მიმდებარე პოლიგონების.

პოლიგონების წარმოადგენენ polyhedron წარმოადგენს მისი სახეები და მათი მხრიდან - ნეკნები. polyhedra vertices არიან vertices პოლიგონების. თუ ტერმინი პოლიგონის მესმის, ბინა დახურული polylines, შემდეგ მოდის ერთი განსაზღვრება polyhedron. იმ შემთხვევაში, თუ ეს ვადა იგულისხმება ნაწილი თვითმფრინავი, რომელიც ესაზღვრება გაწყვეტილი ხაზები, ეს იქნება გაგებული, ზედაპირზე შედგება მრავალკუთხა ცალი. Convex polyhedron ეწოდება სხეულის ცრუობს ერთ მხარეს თვითმფრინავი, მიმდებარე მისი სახეები.

კიდევ ერთი განსაზღვრება polyhedron და მისი ელემენტების

Polyhedron მოუწოდა ზედაპირზე შედგება პოლიგონები, რომელიც ზღუდავს გეომეტრიული სხეულის. ესენი არიან:

• არასამთავრობო ამოზნექილი;
• ამოზნექილი (სწორი და არასწორი).

რეგულარული polyhedron - არის ამოზნექილი polyhedron მაქსიმალური სიმეტრია. ელემენტები რეგულარული polyhedra:

• Tetrahedron: 6 ნეკნები 4 სახეები 5 ოსტატი;
• hexahedron (cube) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

ეილერის თეორემა

იგი ადგენს შორის ურთიერთობა ნომერი კიდეები, ოსტატი და სახეები topologically ექვივალენტი სფეროში. მიმატების ოსტატი და სახეები (B + D) აქვს სხვადასხვა რეგულარული polyhedra და შედარებით მათ რაოდენობის ნეკნები, ეს შესაძლებელია მითითებული ერთი წესი: თანხა რაოდენობის სახეები ტოლი რაოდენობის vertices და კიდეები (P) გაიზარდა 2. ეს შესაძლებელია გამომდინარეობს მარტივი ფორმულა:

• B + D = P + 2.

ეს ფორმულა მოქმედებს ყველა ამოზნექილი polyhedra.

ძირითადი ცნებები

კონცეფცია რეგულარული polyhedron შეუძლებელია აღწერს ერთი წინადადება. ეს არის უფრო ღირებული და მოცულობა. ორგანო უნდა იყოს აღიარებული, როგორც ასეთი, აუცილებელია, რომ იგი აკმაყოფილებს ნომერი განმარტებები. ამდენად, გეომეტრიული სხეულის იქნება რეგულარული polyhedron, როდესაც ეს პირობა:

• ეს არის ამოზნექილი;
• იგივე რაოდენობის ნეკნები დაახლოების ყოველ ოსტატი;
• ყველა facets მისი - რეგულარული პოლიგონების, ერთმანეთის ტოლი;
• ყველა dihedral კუთხე ტოლია.

Properties რეგულარული polyhedra

არსებობს 5 სხვადასხვა ტიპის რეგულარული polyhedra:

1. Cube (hexahedron) - მას აქვს ბინა apex კუთხე 90 °. მას აქვს 3 ცალმხრივ კუთხე. თანხა სახე კუთხეების apex 270 °.
2. Tetrahedron - ბინა apex კუთხე - 60 °. მას აქვს 3 ცალმხრივ კუთხე. თანხა სახე კუთხეების apex - 180 °.
3. Octahedron - ბინა apex კუთხე - 60 °. მას აქვს ოთხმხრივი კუთხე. თანხა სახე კუთხეების apex - 240 °.
4. Dodecahedron - ბინა apex კუთხე 108 °. მას აქვს 3 ცალმხრივ კუთხე. თანხა სახე კუთხეების apex - 324 °.
5. Icosahedron - მას აქვს ბინა apex კუთხე - 60 °. მას აქვს ხუთმხრივი კუთხე. თანხა სახე კუთხეების apex 300 °.

ფართობი რეგულარული polyhedra

ფართობით გეომეტრიული ორგანოები (S) გამოითვლება როგორც რეგულარული პოლიგონის ტერიტორიაზე მრავლდება of facets (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

მოცულობა რეგულარული polyhedron

ეს მნიშვნელობა გამოითვლება გამრავლებით მოცულობა რეგულარული პირამიდის რომლის ბაზაზე არის რეგულარული პოლიგონის, რაოდენობის სახეები და მისი სიმაღლე არის ჩაწერილი რადიუსის სფეროში (R)

• V = 1: 3rS.

ტომი რეგულარული polyhedra

ისევე, როგორც ნებისმიერი სხვა გეომეტრიული მყარი, რეგულარული polyhedra აქვს სხვადასხვა ტომი. ქვემოთ ფორმულები, რომლითაც მათ შეუძლიათ გამოვთვალოთ:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (კუბი): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

ელემენტები რეგულარული polyhedra

Hexahedron და octahedron ორმაგი გეომეტრიული ორგანოები. სხვა სიტყვებით, მათ შეუძლიათ გავიდნენ ერთმანეთს იმ შემთხვევაში, centroid ერთი არის აღებული, როგორც თავზე სხვა, და პირიქით. ასევე ორმაგი icosahedron და dodecahedron. თავად მხოლოდ tetrahedron არის ორმაგი. მისი თქმით, მეთოდი ევკლიდეს შეიძლება მიღებული dodecahedron hexahedron მშენებლობით "სახურავი" სახეები კუბი. წვეროების საქართველოს tetrahedron რაიმე 4 vertices კუბი, არ მიმდებარე წყვილი ერთად ზღვარზე. მდებარეობა hexahedron (კუბი) მიღება შეიძლება, და სხვა რეგულარული polyhedra. მიუხედავად იმისა, რომ რეგულარული პოლიგონის არსებობს უამრავი, რეგულარული polyhedra, არსებობს მხოლოდ 5.

Radii რეგულარული პოლიგონები

თითოეულ ამ გეომეტრიული ორგანოები დაკავშირებული კონცენტრული სფეროები 3:

• აღწერილი გავლით ოსტატი;
• იუნესკოს დაკავშირებით ყოველი მისი სახეები შუა მას;
• საშუალო ეხება ყველა edges შუა.

რადიუსის სფეროში აღწერილი შემდეგი ფორმულით გამოითვლება:

• R = A: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

რადიუსის იუნესკოს სფეროში გამოითვლება შემდეგნაირად:

• R = A: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

სადაც θ - dihedral კუთხე, რომელიც არის შორის მიმდებარე facets.

საშუალო რადიუსის სფეროში შეიძლება გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

• ρ = a cos π / p: 2 ცოდვა π / სთ,

სადაც H = მასშტაბები 4.6, 6.10, ან 10. თანაფარდობა radii ჩაწერილი აღწერილი და სიმეტრიულად მიმართებაში p და q. იგი გამოითვლება შემდეგნაირად:

• R / r = tg π / p x tg π / რ.

სიმეტრია polyhedra

სიმეტრია რეგულარული polyhedra არის პირველადი ინტერესი ამ გეომეტრიული ორგანოები. გასაგებია, როგორც მოძრაობა სხეულის სივრცეში, რომელიც ტოვებს იგივე რაოდენობის წვეროების, სახეები და კიდეები. სხვა სიტყვებით, გავლენის ქვეშ სიმეტრია გარდაქმნათა პირას, vertex, ან სახე ინარჩუნებს თავის პოზიციას, ან გადადის სახლში პოზიცია კიდევ ერთი ნეკნი, მეორე ოსტატი და სახეები.

ელემენტები სიმეტრია რეგულარული polyhedra საერთოა ყველა სახის გეომეტრიული მყარი. აქ იგი ტარდება პირადობის ტრანსფორმაციის, რომელიც ტოვებს ერთი ქულა ორიგინალური პოზიცია. ასე რომ, როდესაც თქვენ ჩართოთ მრავალკუთხა პრიზმაში შეგიძლიათ მიიღოთ გარკვეული სიმეტრიის. ნებისმიერი მათგანი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც პროდუქტი ასახვა. Symmetry, რომელიც არის პროდუქტი კი რაოდენობის მოსაზრებები, მოუწოდა პირდაპირი. თუ ეს არის პროდუქტი კენტი რაოდენობის მოსაზრებები, მაშინ მას უწოდებენ კავშირი. ამდენად, ყველა მონაცვლეობით გარშემო ხაზი წარმოადგენს სწორი სიმეტრია. ნებისმიერი გამოხატულება polyhedron - ეს არის შებრუნებული სიმეტრია.

უკეთ symmetry რეგულარულმა polyhedra, შეგიძლიათ მიიღოს მაგალითზე tetrahedron. ნებისმიერი ხაზი, რომელიც გაივლის ერთ-ერთი ოსტატი და ცენტრში გეომეტრიული ფორმის, გაიმართება, და ცენტრში ზღვარზე მოპირდაპირე. თითოეული მონაცვლეობით 120 და 240 ° გარშემო ხაზი ეკუთვნის მრავლობითი tetrahedral სიმეტრია. მას შემდეგ, რაც 4 ოსტატი და სახეები, მივიღებთ სულ რვა პირდაპირი სიმეტრიის. ნებისმიერი ხაზები გავლით შუა კიდეები და ცენტრში სხეულის, ის გადის შუა საპირისპირო პირას. ნებისმიერი როტაცია 180 °, სახელწოდებით ნახევარი მხრივ გარშემო სწორი სიმეტრია. მას შემდეგ, რაც tetrahedron აქვს სამი წყვილი ნეკნები, თქვენ სამი სიმეტრიის ხაზები. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეიძლება დავასკვნათ, რომ საერთო რაოდენობის პირდაპირი სიმეტრია, და მათ შორის პირადობის ტრანსფორმაციის, იქნება თორმეტი. სხვა პირდაპირი symmetry tetrahedron არ არსებობს, მაგრამ მას აქვს 12 შებრუნებული სიმეტრია. შესაბამისად, მხოლოდ 24 ხასიათდება tetrahedron სიმეტრიის. კერძოდ, ჩვენ შეგვიძლია ავაშენოთ მოდელი რეგულარული tetrahedron დამზადებული მუყაოს და დარწმუნდით, რომ იგი არის გეომეტრიული სხეულის ნამდვილად აქვს მხოლოდ 24 სიმეტრია.

Dodecahedron და icosahedron - უახლოესი ორგანოს ტერიტორიაზე. Icosahedron აქვს დიდი რაოდენობის სახეები, dihedral კუთხე და ყველაზე მეტად შეიძლება მჭიდროდ cling რომ იუნესკოს სფეროში. Dodecahedron აქვს ყველაზე დაბალი კუთხის ნაკლი უდიდესი მყარი კუთხე vertex. ეს შეიძლება მაქსიმალურად შეავსოთ შემოფარგლულ სფეროში.

სკანირების polyhedra

რეგულარული polyhedra scan, რომელსაც ჩვენ ყველა მოხდა ერთად ბავშვობაში, აქვს ბევრი ცნებები. თუ არ არის მითითებული პოლიგონების, თითოეული მხარე, რომელიც გაიგივებულია მხოლოდ ერთ მხარეს polyhedron, იდენტიფიკაცია მხარეებს უნდა შეესაბამებოდეს ორი პირობა:

• ყოველი პოლიგონის, შეგიძლიათ წასვლა პოლიგონის მქონე იდენტიფიკაცია მხარეს;
• ამოცნობადი მხარეს უნდა ჰქონდეს იგივე სიგრძის.

ეს არის კომპლექტი პოლიგონების, რომელიც აკმაყოფილებს ამ პირობებში, და ჰქვია polyhedron scan. თითოეული მათგანი აქვს რამდენიმე მათგანი. მაგალითად, cube, რომელიც არსებობს 11 ცალი.